タイトル：On the Hassett-Keel-Looijenga program for the moduli space of rational elliptic surfaces
日時：2026/10/29
講演者：前田 洋太（東北大学 客員研究者）
会場：ハイブリッド（オンライン / 武蔵野研究開発センタ）
代数多様体を分類するモジュライ空間を研究する際には、極限に現れる退化した対象を加えてコンパクト化することが重要である。しかし、どのような退化を許し、そのどの情報を記録するかによって、同じモジュライ空間から異なるコンパクト化が生じる。古典的には、方程式と群作用に基づくMumfordの幾何学的不変式論（GIT）と、周期写像を通じて現れる算術商のBaily–Borelコンパクト化が、二つの重要な構成を与えてきた。これらの関係を理解することは、代数幾何と保型形式論を結ぶ基本的な問題である。
この問題を考えるうえで、一つの指針となるのが、曲線のモジュライ空間に対するHassett–Keelプログラムである。そこでは、境界に与える重みを変えて得られる双有理モデルを、許容する特異点の異なる曲線のモジュライとして理解することを目指す。一方、Looijengaは、周期領域内の特別な因子に着目し、GITとBaily–Borelのコンパクト化を比較する理論を構築した。これらを背景にLaza–O’Gradyが提唱したHassett–Keel–Looijenga（HKL）プログラムは、両者を結ぶ中間モデルを系統的に調べ、それぞれにモジュライとしての意味を与えようとするものである。近年では、Ascher–DeVleming–LiuによるK3曲面の研究などを通じて、K安定性に基づくモジュライ空間の壁越えが、この構想を実現する有力な方法となっている。
本講演では、この歴史的背景を紹介した後、有理楕円曲面のモジュライ空間に関する研究を説明する。この空間には、Weierstrass方程式から得られるMirandaのGITコンパクト化と、判別式およびHeckman–Looijengaの理論を通じて得られる8次元複素球商のBaily–Borelコンパクト化がある。我々は、方程式と判別式の情報をquasimapという基点を許す写像の枠組みで同時に扱い、それぞれに与える重みを変化させることで、二つのコンパクト化を結ぶＫモジュライ空間の族を構成した。さらに、すべての壁越えを決定し、各モデルを、指定した因子に沿う極を許した保型形式の環から得られる空間として記述する。特に、途中に現れるLooijengaの半トロイダルコンパクト化にもモジュライとしての解釈が与えられる。Borcherds積による保型形式の構成が、これらの幾何学的変化を理解するうえで果たす役割にも触れる。講演は服部真史氏（京大）との共同研究に基づく。